Дискретность и непрерывность в моделировании динамики сложных систем: проблемы, концепции, перспективные направления исследований.

Задача данного раздела сайта состоит в привлечении внимания к концептуальным проблемам, связанным с моделированием и прогнозированием процессов в сложных нелинейных системах, включая экономические, социальные и экологические.

Особенностью последних, помимо нелинейности и сложности, является участие в системе субъектов, т.е. элементов, обладающих долговременной памятью и плохо формализуемой реакцией на поступающие сигналы и информацию.

Возможное решение проблем адекватного моделирования и прогнозирования процессов в таких системах следует искать на стыках различных научных направлений, как относительно новых, так и традиционных, с критическим анализом и переосмыслением лежащих в их основе представлений и аксиом.

Если пользоваться уже сложившейся терминологией, то к далеко не полному перечню таких направлений нужно отнести дискретную и непрерывную математику, компьютерное моделирование и компьютерную математику, теорию относительности, квантовую физику и классическую механику, синергетику и кибернетику, нейронные сети и генетические алгоритмы, системный анализ и общую теорию систем, экономическую теорию и экологию, общую и социальную психологию.

Вследствие бурного, иногда взрывного характера развития новых направлений, не всегда оправданного консерватизма представителей традиционных школ, а также из-за необходимо узкой специализации ученых, работающих в разных областях, процессы взаимопроникновения идей, относящихся к различным направлениям, могут растягиваться на десятилетия.

Авторы сайта надеются, что размещение материалов и статей по широкому спектру проблем моделирования, содержащих новые, стыковые и дискуссионные идеи, будет способствовать ускорению этих процессов.

Ключевые слова: математические модели (Mathematical Models). математическое моделирование (Mathematical Design), дискретная математика (Discrete Mathematics), нелинейная динамика (Nonlinear Dynamics), теория хаоса (Chaos Theory), фракталы (Fractals), мультифракталы (Multifractals), теория сложности (Complexity Theory), нейронные сети (Neural Networks), искусственные нейронные сети (Artificial Neural Networks) генетические алгоритмы (Genetic Algorithms), синергетика (synergetics), цепи Маркова (Markov Chains), сложные цепи Маркова (Complex Markov Chains), эконофизика (Econophysics), искусственный интеллект (Artificial Intelligence), распознавание образов (Pattern Recognition), системный анализ (Systems Analysis), кибернетика (Cybernetics), теория систем (Systems Theory), моделирование экологии (Ecological Modelling), 1/f-шум (1/f-noise), фликкер-шум (Flicker-noise, Pink-noise), вейвлеты (Wavelets).

В настоящее время на сайте размещены следующие статьи:

1. Сапцин В.М. Дискретность и непрерывность в теории и практике применения математических моделей.

2. Сапцин В.М. О концепции дискретного времени в моделях экономических систем.

Ведется работа над статьей:

3. Дифференциальные иерархические сложные цепи Маркова – новая нейросетевая технология прогнозирования социально-экономических, экологических и других плохо формализуемых процессов.

Предлагаются для обсуждения темы:

4. Нефундаментальные непериодические не-конечно-элементные последовательности в ограниченных метрических пространствах с мерой, порождающие при замыкании объекты дробной размерности – новые «пред»-фрактальные элементы («пред»-фракталы), пополняющие новое «сверх»-полное «квази»-метрическое пространство, или «новое» - это хорошо забытое «старое»? (Простейшим примером такой последовательности является последовательность граничных точек Канторова множества: )

5. Является ли универсальным определение фрактала как неизмеримого подмножества ограниченного метрического пространства с мерой, образованного замыканием соответствующей нефундаментальной непериодической не-конечно-элементной последовательности точек этого пространства («пред»-фрактала)?

6. Может ли быть принято за определение равенства двух фракталов и утверждение: два фрактала, порожденные последовательностями («пред»-фракталами) и равны, если для любого (сколь угодно малого) найдется такой номер (зависящий вообще говоря от ), начиная с которого в -окрестности любой точки (т.е. при ) найдется хотя бы один элемент с , и наоборот, в -окрестности любой точки () найдется хотя бы один элемент с ?

7. Может ли быть принято за определение «степени близости» двух фракталов и неотрицательное число , где () – точная нижняя грань значений , при которых выполняются условия, определяющие равенство фракталов согласно определению предыдущего пункта?

8. Введенное выше определение «степени близости» симметрично и удовлетворяет условию , однако удовлетворяет ли оно аксиоме треугольника?

9. Если нет, то можно ли ввести понятие расстояния между фракталами (или «пред»-фракталами) таким образом, чтобы аксиома треугольника также выполнялась, тем самым превратив множество так введенных фракталов в метрическое пространство?